고유값과 대각화 · 평생 소원이 누룽지

핵심 요약

선형사상 $T: V \to V$가 어떤 벡터의 방향을 바꾸지 않고 길이만 바꾸면, 그 벡터를 eigenvector라고 부릅니다.
계산 순서
1. 특성다항식 $p_A(\lambda) = \det(A - \lambda I)$를 구합니다.
2. $p_A(\lambda) = 0$의 근이 고유값입니다.
3. 각 고유값마다 $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$의 해공간(eigenspace)을 구합니다.
대각화 $A = PDP^{-1}$가 되면 거듭제곱·지수함수 계산이 쉬워집니다.

정의 고유값과 고유벡터

$n \times n$ 행렬 $A$와 스칼라 $\lambda$에 대해, $\mathbf{0}$이 아닌 벡터 $\mathbf{v}$가

A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}

를 만족하면 $\lambda$를 $A$의 고유값, $\mathbf{v}$를 $\lambda$에 대응하는 고유벡터라고 합니다.

고유공간 $E_\lambda = \ker(A - \lambda I)$
- 기하적 중복도: $\dim E_\lambda$
- 대수적 중복도: $p_A$에서 근 $\lambda$의 중복 횟수
  - 항상 $1 \le \dim E_\lambda \le$ (대수적 중복도)
  - 두 값이 다르면 그 고유값에서 "고유벡터가 모자란다"고 말합니다.
고유값은 기저를 바꿔도 변하지 않습니다.
- $B = Q^{-1}AQ$이면 $p_B(\lambda) = \det(Q^{-1}(A - \lambda I)Q) = p_A(\lambda)$

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$이면 특성다항식이 trace와 determinant로만 정해집니다.

p_A(\lambda) = \lambda^2 - (\operatorname{tr} A)\,\lambda + \det A, \qquad \lambda_{\pm} = \frac{\operatorname{tr} A \pm \sqrt{(\operatorname{tr} A)^2 - 4\det A}}{2}

예시

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$의 고유값과 고유벡터를 구합니다.

특성다항식
$\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{vmatrix} = (2 - \lambda)^2 - 1 = (\lambda - 1)(\lambda - 3)$
고유값마다 해공간 구하기
- $\lambda = 3$: $\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\mathbf{v} = \mathbf{0}$ → $\mathbf{v}_1 = (1, 1)^{\mathsf T}$
- $\lambda = 1$: $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\mathbf{v} = \mathbf{0}$ → $\mathbf{v}_2 = (1, -1)^{\mathsf T}$
검산
- $\operatorname{tr} A = 4 = 3 + 1$, $\det A = 3 = 3 \times 1$ ✓
- 두 고유벡터가 직교합니다. 대칭행렬에서는 항상 그렇습니다(스펙트럼 정리).

정리 대각화 가능 조건

$n \times n$ 행렬 $A$에 대해 다음은 서로 동치입니다.

증명 (1) ⇔ (2)

$P$의 열을 $\mathbf{p}_1, \dots, \mathbf{p}_n$, $D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$이라고 하면

\begin{aligned} AP = PD &\iff A \begin{pmatrix} \mathbf{p}_1 & \cdots & \mathbf{p}_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda_1 \mathbf{p}_1 & \cdots & \lambda_n \mathbf{p}_n \end{pmatrix} \\ &\iff A\mathbf{p}_j = \lambda_j \mathbf{p}_j \quad (j = 1, \dots, n). \end{aligned}

$P$가 가역이라는 것은 $\mathbf{p}_1, \dots, \mathbf{p}_n$이 기저라는 것과 같으므로 두 조건은 동치입니다.

앞의 예제에 적용하면

\[P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix},\quad D = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\quad A^k = P D^k P^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 3^k + 1 & 3^k - 1 \\ 3^k - 1 & 3^k + 1 \end{pmatrix}\]
- $k = 1$을 넣으면 원래 행렬이 나옵니다.
- $k \to \infty$에서 $3^{-k}A^k \to \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$: 가장 큰 고유값의 고유공간으로의 사영입니다.

주의 대각화가 안 되는 행렬

$N = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$은 고유값이 $0$뿐인데 $\dim E_0 = 1 < 2$입니다. 이런 경우에는 Jordan 표준형을 씁니다.

$\mathbf{x}'(t) = A\mathbf{x}(t)$의 해는 $\mathbf{x}(t) = e^{tA}\mathbf{x}(0)$이고, 대각화가 되면

e^{tA} = P\, e^{tD} P^{-1} = P \begin{pmatrix} e^{\lambda_1 t} & & \\ & \ddots & \\ & & e^{\lambda_n t} \end{pmatrix} P^{-1}

해의 장기적 거동은 고유값의 실수부로 정해집니다.
$\lim_{t \to \infty} \mathbf{x}(t) = \begin{cases} \mathbf{0} & \text{모든 } \operatorname{Re}\lambda_j < 0 \text{ (안정)} \\ \text{유계, 진동} & \max_j \operatorname{Re}\lambda_j = 0 \text{, 대각화 가능} \\ \text{발산 가능} & \text{어떤 } \operatorname{Re}\lambda_j > 0 \end{cases}$
지수급수를 직접 전개해 보면 대각화가 왜 계산을 줄이는지 보입니다.
$e^{tA} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{t^k A^k}{k!} = I + tA + \frac{t^2}{2!}A^2 + \frac{t^3}{3!}A^3 + \cdots = P\left(I + tD + \frac{t^2}{2!}D^2 + \frac{t^3}{3!}D^3 + \cdots\right)P^{-1} = P\,e^{tD}P^{-1}$

풀이 연습문제 — $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}$일 때 $e^{tA}$

$\operatorname{tr} A = -3$, $\det A = 2$이므로 $p_A(\lambda) = \lambda^2 + 3\lambda + 2 = (\lambda + 1)(\lambda + 2)$
고유벡터
- $\lambda = -1$: $\mathbf{v}_1 = (1, -1)^{\mathsf T}$
- $\lambda = -2$: $\mathbf{v}_2 = (1, -2)^{\mathsf T}$
정리하면
$e^{tA} = \begin{pmatrix} 2e^{-t} - e^{-2t} & e^{-t} - e^{-2t} \\ -2e^{-t} + 2e^{-2t} & -e^{-t} + 2e^{-2t} \end{pmatrix}$
두 고유값이 모두 음수이므로 모든 해는 $\mathbf{0}$으로 수렴합니다.