양자 조화 진동자 · 평생 소원이 누룽지

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질량 $m$, 각진동수 $\omega$인 1차원 진동자의 Hamiltonian
$\hat H = \frac{\hat p^2}{2m} + \frac{1}{2} m\omega^2 \hat x^2, \qquad [\hat x, \hat p] = i\hbar$
고전역학과 달리 에너지가 띄엄띄엄한 값만 가집니다.
- 바닥 상태에서도 에너지가 $0$이 아닙니다 (zero-point energy).
- 이 결과는 불확정성 원리 $\Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2$와 연결됩니다.
길이와 에너지의 자연스러운 단위
- 길이: $x_0 = \sqrt{\hbar / m\omega}$
- 에너지: $\hbar\omega$

사다리 연산자

정의 생성·소멸 연산자

\hat a = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat x + \frac{i}{m\omega}\hat p\right), \qquad \hat a^\dagger = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat x - \frac{i}{m\omega}\hat p\right)

$\hat a$를 소멸(lowering) 연산자, $\hat a^\dagger$를 생성(raising) 연산자라고 합니다.

기본 성질
1. 교환자: $[\hat a, \hat a^\dagger] = 1$
2. 수 연산자 $\hat N = \hat a^\dagger \hat a$를 쓰면 $\hat H = \hbar\omega\left(\hat N + \tfrac12\right)$
3. 사다리 관계
  - $[\hat N, \hat a] = -\hat a$, $[\hat N, \hat a^\dagger] = \hat a^\dagger$
  - 따라서 $\hat N\ket{n} = n\ket{n}$이면
    - $\hat a\ket{n}$은 고유값 $n - 1$인 상태
    - $\hat a^\dagger\ket{n}$은 고유값 $n + 1$인 상태

증명 $[\hat a, \hat a^\dagger] = 1$

정의를 대입하고 $[\hat x, \hat x] = [\hat p, \hat p] = 0$을 쓰면

\begin{aligned} [\hat a, \hat a^\dagger] &= \frac{m\omega}{2\hbar}\left[\hat x + \frac{i}{m\omega}\hat p,\; \hat x - \frac{i}{m\omega}\hat p\right] \\ &= \frac{m\omega}{2\hbar}\left(-\frac{i}{m\omega}[\hat x, \hat p] + \frac{i}{m\omega}[\hat p, \hat x]\right) \\ &= \frac{m\omega}{2\hbar}\cdot\left(-\frac{i}{m\omega}\right)\cdot 2i\hbar \\ &= 1. \end{aligned}

에너지 준위

$\hat N$의 고유값은 음이 아닙니다.
- $n = \bra{n}\hat a^\dagger \hat a\ket{n} = \lVert \hat a\ket{n} \rVert^2 \ge 0$
사다리를 내려가다 멈추려면 바닥 상태 $\ket{0}$에서 $\hat a\ket{0} = 0$이어야 합니다.
- 그렇지 않으면 음의 고유값이 나와 1번과 모순됩니다.
따라서 $n = 0, 1, 2, \dots$이고

\[E_n = \hbar\omega\left(n + \frac12\right)\]
- 인접 준위 간격은 모두 $\hbar\omega$로 같습니다.
- 분자 진동 스펙트럼이 거의 등간격인 이유입니다.

참고 정규화 상수

$\hat a\ket{n} = \sqrt{n}\,\ket{n-1}$, $\hat a^\dagger\ket{n} = \sqrt{n+1}\,\ket{n+1}$이고, $\ket{n} = \dfrac{(\hat a^\dagger)^n}{\sqrt{n!}}\ket{0}$입니다.

행렬 표현

기저 $\{\ket{0}, \ket{1}, \ket{2}, \dots\}$에서 $\hat a$는 대각선 바로 위에만 성분이 있는 무한 행렬입니다.

\hat a \doteq \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{1} & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & \sqrt{2} & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \sqrt{3} & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ddots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}, \qquad \hat H \doteq \hbar\omega \begin{pmatrix} \frac12 & & & \\ & \frac32 & & \\ & & \frac52 & \\ & & & \ddots \end{pmatrix}

$\hat x = \dfrac{x_0}{\sqrt2}(\hat a + \hat a^\dagger)$이므로 $\hat x$의 행렬 성분은
- $\bra{m}\hat x\ket{n} = \dfrac{x_0}{\sqrt2}\left(\sqrt{n}\,\delta_{m, n-1} + \sqrt{n+1}\,\delta_{m, n+1}\right)$
- 대각 성분이 $0$: 모든 정상 상태에서 $\langle \hat x \rangle = 0$
선택 규칙: 쌍극자 전이 $\bra{m}\hat x\ket{n} \ne 0$은 $m = n \pm 1$일 때만 가능합니다.

주의 단위 확인

$\hat a$와 $\hat a^\dagger$는 무차원입니다. 계산 중간에 차원이 맞지 않으면 $x_0$나 $\hbar$를 빠뜨린 경우가 대부분입니다.

파동함수

바닥 상태: $\hat a\ket{0} = 0$을 위치 표현으로 쓰면 1계 미분방정식이 됩니다.

\[\left(x + x_0^2 \frac{d}{dx}\right)\psi_0(x) = 0 \quad\Longrightarrow\quad \psi_0(x) = \left(\frac{1}{\pi x_0^2}\right)^{1/4} e^{-x^2 / 2x_0^2}\]
- 정규화 상수는 가우스 적분에서 나옵니다.
들뜬 상태는 Hermite 다항식 $H_n$으로 씁니다.

\[\psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} \left(\frac{1}{\pi x_0^2}\right)^{1/4} H_n\!\left(\frac{x}{x_0}\right) e^{-x^2/2x_0^2}, \qquad H_n(\xi) = (-1)^n e^{\xi^2} \frac{d^n}{d\xi^n} e^{-\xi^2}\]
- 처음 몇 개: $H_0 = 1$, $H_1 = 2\xi$, $H_2 = 4\xi^2 - 2$, $H_3 = 8\xi^3 - 12\xi$
- 마디(node)의 개수 $= n$

풀이 연습문제 — 상태 $\ket{n}$에서 $\Delta x\,\Delta p$

$\langle \hat x\rangle = \langle \hat p\rangle = 0$이므로 $\Delta x^2 = \langle \hat x^2\rangle$, $\Delta p^2 = \langle \hat p^2\rangle$입니다.
$\hat x^2 = \dfrac{x_0^2}{2}\left(\hat a^2 + \hat a^{\dagger 2} + \hat a \hat a^\dagger + \hat a^\dagger \hat a\right)$에서 대각 성분만 남습니다.
$\langle \hat x^2 \rangle = \frac{x_0^2}{2}\,(2n + 1), \qquad \langle \hat p^2 \rangle = \frac{\hbar^2}{2 x_0^2}\,(2n + 1)$
곱하면

\[\Delta x\,\Delta p = \hbar\left(n + \frac12\right) \ge \frac{\hbar}{2}\]
- 등호는 바닥 상태 $n = 0$에서만 성립합니다.

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