가우스 적분 · 평생 소원이 누룽지

목표

I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}

적분을 제곱해서 이중적분으로 만듭니다.

\[I^2 = \left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx\right)\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\,dy\right) = \iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2 + y^2)}\,dx\,dy\]
- Fubini 정리: 피적분함수가 양수이므로 순서를 바꿔도 됩니다.
극좌표 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$로 바꿉니다.
- Jacobian은 $\left|\dfrac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)}\right| = r$입니다.
- 적분 범위: $0 \le r < \infty$, $0 \le \theta < 2\pi$
계산을 이어 갑니다.
$\begin{aligned} I^2 &= \int_0^{2\pi}\!\! \int_0^{\infty} e^{-r^2}\, r\,dr\,d\theta \\ &= 2\pi \int_0^{\infty} r e^{-r^2}\,dr \\ &= 2\pi \left[-\tfrac{1}{2} e^{-r^2}\right]_0^{\infty} \\ &= \pi \end{aligned}$
$I > 0$이므로 $I = \sqrt{\pi}$입니다.

참고 왜 극좌표가 통하는가

$e^{-x^2}e^{-y^2} = e^{-r^2}$은 원점 중심 회전에 대해 대칭입니다. 각도 방향 적분은 $2\pi$로 끝나고, 남은 $r\,dr$ 덕분에 $u = r^2$ 치환이 가능해집니다.

폭을 바꾼 형태 ($a > 0$)

\[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2}\,dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}\]
- $x = t/\sqrt{a}$로 치환하면 바로 나옵니다.
- 양변을 $a$로 미분하면 짝수 차 moment가 나옵니다.
  - $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-a x^2}\,dx = \frac{1}{2a}\sqrt{\frac{\pi}{a}}$
  - 홀수 차 moment는 피적분함수가 홀함수라서 $0$입니다.
일차항이 있는 형태: 완전제곱식으로 바꿉니다.
$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2 + b x}\,dx = e^{b^2/4a} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a\left(x - \frac{b}{2a}\right)^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}\, e^{b^2/4a}$
$n$차원: 각 좌표가 독립이므로 곱이 됩니다.
- 양의 정부호 대칭행렬 $A$에 대해 $\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} e^{-\mathbf{x}^{\mathsf T} A \mathbf{x}}\,d^n x = \frac{\pi^{n/2}}{\sqrt{\det A}}$

정의 감마 함수

$\operatorname{Re} s > 0$에서

\Gamma(s) = \int_0^{\infty} t^{s-1} e^{-t}\,dt

로 정의하고, 해석적 연속으로 음의 정수를 뺀 복소평면 전체로 넓힙니다.

$t = x^2$로 치환하면 $\Gamma\!\left(\tfrac12\right) = 2\int_0^\infty e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}$
점화식 $\Gamma(s+1) = s\,\Gamma(s)$와 함께 쓰면
- $\Gamma\!\left(\tfrac32\right) = \tfrac12\sqrt{\pi}$
- $\Gamma\!\left(n + \tfrac12\right) = \dfrac{(2n)!}{4^n\, n!}\sqrt{\pi}$
단위 구의 부피: $\displaystyle V_n = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma\!\left(\frac{n}{2} + 1\right)}$

화면이 좁으면 아래 수식은 폭에 맞춰 자동으로 줄이 바뀝니다.

\ln \Gamma(z) = \left(z - \frac{1}{2}\right)\ln z - z + \frac{1}{2}\ln(2\pi) + \frac{1}{12 z} - \frac{1}{360 z^3} + \frac{1}{1260 z^5} - \frac{1}{1680 z^7} + \frac{1}{1188 z^9} - \frac{691}{360360 z^{11}} + \frac{1}{156 z^{13}} + O\!\left(z^{-15}\right)

정규분포 $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$의 밀도함수가 전체 적분 1이 되는 이유가 바로 가우스 적분입니다.

\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right) dx = 1

주의 오차함수와 혼동하지 않기

$\operatorname{erf}(x) = \dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}dt$는 구간이 유한해서 닫힌 형태가 없습니다. 극좌표 기법은 적분 구간이 $(-\infty, \infty)$일 때만 통합니다.

풀이 연습문제 — $\displaystyle\int_0^{\infty} x^4 e^{-x^2}\,dx$

방법 1: $t = x^2$ 치환
- $x^4 e^{-x^2}dx = \tfrac12 t^{3/2} e^{-t}\,dt$이므로 값은 $\tfrac12\Gamma\!\left(\tfrac52\right) = \tfrac12 \cdot \tfrac34\sqrt{\pi} = \tfrac{3\sqrt{\pi}}{8}$
방법 2: $a$에 대한 미분
- $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty x^4 e^{-a x^2}dx = \frac{d^2}{da^2}\sqrt{\frac{\pi}{a}} = \frac{3}{4}\sqrt{\pi}\,a^{-5/2}$
- $a = 1$을 넣고 반으로 나누면 같은 값 $\tfrac{3\sqrt\pi}{8}$

$I^2$를 이중적분으로 바꾸는 이유를 설명할 수 있다
Jacobian $r$이 어디서 오는지 안다
$\Gamma\!\left(\tfrac12\right) = \sqrt\pi$를 직접 유도해 본다
- 치환 $t = x^2$에서 $dt = 2x\,dx$ 확인
- 적분 구간이 반으로 줄어드는 점 확인
$n$차원 결과를 대각화로 증명해 본다 (고유값과 대각화 참고)